退職できない

こんにちは、社会人3年目です
現在委託給食会社に勤めているのですが、体調を崩してしまい退職したいとの事を上司に伝えました。
しかし、今の現場で社員が私1人の事もあり4月まで待ってほしいと言われましたが、せめて12月にしてほしいと伝えました。
それからうやむやにされて音沙汰がないのですが、本当に退職できると思いますか？

また、もう限界を感じているのですが、今すぐに退職するのは難しいですかね？
皆さまの意見をお聞きしたいです