辞めたいのにやめさせてもらえません。

先日はたくさんのアドバイスありがとうございました。
前のはこちらです。

http://eichie.jp/member/qa/?action_qa_detail=true&qa_id=9974&type=2

病院委託給食で働いているものです。
先日、心療内科に受診し、適応障害と診断されました。
辞めることを決意し、マネージャーに今日、適応障害があること、それで毎日朝4:30からの勤務は難しいと伝えましたが、他にお前のような仕事ができない奴を置く場所がないとのような趣旨の話をされたので辞めたいと言ったところ、新しい人が入って落ち着いたらと言われてしまいました。
紹介してくださった学校の先生に相談したところ、そんなところを紹介して申し訳なかった。今すぐにでも退職願と診断書を渡して今月末までしか働きませんといえと言われました。
そんなこと可能なのでしょうか？
なるべく早く辞めたいです。
アドバイスいただけたら幸いです。