1人部署の転職活動

お世話になります。
7月末を目処に現在勤めている老健（栄養課1人部署）を退職するために転職活動中です。
子育て中のため、自宅から近い勤務先を希望しています。
良いところがあったのですが、8月入職の希望を伝えたら選考対象外とのお返事でした。（さすがに3ヶ月は待ってもらえないですよね…）
私的には、今の職場にはとてもお世話になっており、ちゃんと引き継ぎを終えたら退職したいと考えています。
しかし、仮に退職の意向を先に告げて、後任が決まったとしても、自身の転職がスムーズに決まらなかったら…と思うと不安しかありません。
1人部署や後任がいない中で転職活動をされた方、良きアドバイスがあればご教授ください。