転職先の制服と労働条件通知書について

この4月から特養から保育園へ転職する事になりました。
転職先から、制服は特に決まりは無いので、今使っている制服、コックシューズを持って来てくださいと言われました。
しかし、現職の物は全て貸与された物なので、返さなければならないと答えたところ、それならネットでも作業着屋さんでもいいので買ってくださいと言われました。

ここで質問なのですが、自分で買うのは普通の事ですか？
また、会社負担にしてくれるのか自己負担なのかも聞きにくく確認出来ていないのですが、自己負担もあり得るものなのでしょうか？

さらに、面接の時に勤務時間や給与の大まかな説明はあったのですが、後日、書面で確認したいので労働条件通知書を欲しいと伝えたところ、今まで書面で渡す事はしていませんと返答されました。

気持ち良く転職したいのに、疑問符が浮かんでいてスッキリしないので、ご意見ください。