退職した委託会社への実務証明書依頼について

はじめまして。
もし既存に質問ありましたらすみません。
一通り見たところなかったので質問させて頂きました。

3年間委託業者でこども園に務め、転職しました。
実務証明書をこども園の理事長先生、委託会社に送付して書いてもらおうと思うのですが、

先に委託会社に連絡したところ、配属していたこども園に記入してもらって漏れがないようにして送ってと言われました。

ただ、名前や実務期間などは自分で記入してはいけないですよね。委託会社に書いてもらわらければならないと思うのですが、白い紙の状態でこども園にサインだけくれというのも失礼な話ではないかと思います。

鉛筆の下書きや付箋で書いて送るのはマナー的にどうなのでしょうか？

それとも先に委託会社に送って必要な箇所を書いてもらった上で配属先の園に郵送してサインしてもらうでもありなのでしょうか？

先に委託会社に送ってから配属先に送ったなど同じ境遇の方こう対処したなどありましたら教えて頂きたいです。

よろしくお願いいたします。