条件付き確率を定義せよ

ちょっと、記号が慣れないかもしれませんが、確率についてまとめてみました。

以前、食事摂取基準のはなしをどかで出したとき、条件付き確率の話が全然理解できてない方が多くて、びっくりしたことがあります。
そこで、少し書いたのがこれですが、集合の記号を使わないとなにも言えないので、使っています。
あと、測度という概念が出てきます。これは、集合の面積や体積みたいなものと思ってください。

触れていることは、　事象、確率、確率変数、確率分布、独立、条件付き確率　です。

ただし、条件付き確率は直接書いていません。だから、条件付き確率を定義してみてください（＾＾）。
（こういうの、管理栄養士の試験に出ないのかな？）



栄養士さん全体の集合をΩとします。そしてその部分集合をA, B, C…　で表します。

そして、この集合の面積というか、測度を P　で表します。

例えば　P(Ω)でΩの測度　P(A)で A の測度　って具合です。

いま、P(Ω)＝１　とします。つまり全体の測度は１です。

このとき　Ωを確率空間　P を確率測度 といいます。


さて、一斉に栄養士さんに食事を作ってもらい、栄養士さんに対して、栄養士さんが作った食事のカロリーを対応させる関数を　X　としましょう。

X　は　Ωから実数 R　への関数です。これを確率変数といいます。そしてΩの部分集合
A, B, C …　を　事象　といいます。へんな言い回しですね。これを説明します。


そのために、もうひとつ、記号を用意します。

Rの部分集合　Uに対し、　X^(-1)(U)　で　Ωの元で　X　で移した値が　U　に含まれているもの全体　　X^(-1)(U)=｛σ∈Ω｜ X(σ)∈ U }　を表します。


つまり先ほどの例で言えば、作った料理のカロリーが U の範囲に含まれている栄養士さんたちの集合です。

だから　U =｛1500｝　とすると　作った料理のカロリーが1500kcalである栄養士さんたちからなる集合です。


この　　X^(-1)(U)　の　測度は、　作った料理のカロリーが1500kcalである栄養士さんたちの人数を、栄養士さんすべての人数で割った数でしたよね。


　A=X^(-1)(U)としておきます。

そうすると、こういう言い方ができます。栄養士さんに料理を作ってもらいました。その料理が1500kcalである確率は　　P(A)　であると。


おわかりでしょうか。Xの行き先のの値や範囲を決めれば、それによってその事象が起きるΩの部分集合が決まり、その測度が、それが起こる確率になってるわけですね。


事象が二つあったとき、つまり　A, B　を事象としたとき、独立であるとは、

P(A∩B) = P(A)・P(B)

が成り立つときを言います。

つまり　それぞれの確率は、相手の事象が起ころうが起きまいが、無関係だってことです。


そして、二つの確率変数 X, Y があるとき、この二つが独立とは、

　 P(　X^(-1)({x}) ∩　Y^(-1)({y}} ) = P(　X^(-1)({x}) )・P(　Y^(-1)({y}) )


がすべての x, y　について成り立つということです。

つまり　Xが　x　である事象がおきる確率と　Y　が　y　である事象が起きる確率は、無関係　であるってことですね。




そして、このX, Y の従う確率分布が(2次元）正規分布に従うとき、この独立性は、無相関　であることと、おなじ意味になります。


だから　x, y　って数字に　相関がないということは　独立だ　ってことになります。

例えば、y の値が何であっても、x の確率分布は変化しない。


逆に言えば、変化を与えるならば、それは、相関があるって世界が、(2次元）正規分布の世界です。