病院の残業代

今年の4月から、大学病院で栄養士として勤務しています。
国試合格後は管理栄養士です。
給食は委託なので、病棟業務のみです。

労働条件についてお伺いします。
まだ仕事はほとんどできないので、定時には帰っているのですが、上の人は定時～2時間以上は勤務しているようです。
それなのにも関わらず、残業代はもらえないそうです。一応、超過勤務の申請用紙はあるのですが、誰も書いていないようで・・・
病院（大学病院のような大きい）の管理栄養士は残業代もらえないのでしょうか？
もちろん病院によって違うと思いますが、みなさんのご意見をお聞かせくださいm(__)m

働いた分の対価はもらいたいので、これからサービス残業が始まるようであれば、1年で退職しようと思います。
解決策などありましたら、アドバイスをお願いします。

※追記
説教受けるために相談していません。誤解あるようでしたので追記します。

・仕事ができない→まだ栄養士の身分のため、仕事が限られる

・入社5年以上たっているベテラン枠でも残業している→能力云々ではなく、仕事量に対して明らかに人が少ない。

・残業代は、法律上貰えるもので払われないことは問題という認識→いわゆるブラック病院に就職してしまったから、早めに辞めた方が良いのではないかと思った。

・仕事早くできるようになろうとする向上心は、ないのか？→ないわけありません。しかし、どんなに早く仕事が出来ても、明らかに仕事量が多い。

今回の質問で、ご回答してくださる方の病院では残業代が出るのか知りたかっただけです。病院の残業代は出ないことが多いと聞いたため、確認の意味で。

たくさん回答をいたただいて、管理栄養士はやっぱり労働条件が悪いことが分かりました。仕事が終わらないのなら、終わらない量の仕事を与える社員の能力を見る目がない上司、人員を確保出来ない病院や会社が悪いともお考えにはならないのでしょうか？泣き寝入りしないで、地位向上できることをお祈りします。