退職の引き延ばしについて

保育園で栄養士をしています。
昨年度から人材不足、持ち帰りの仕事が多い、休みが取りづらい等の理由から転職を考え、また臨床の勉強もしたいと思い転職活動をし、直営の病院から内定をいただきました。就業規則に従い、次の職場が決まっている事と1か月前に退職を申し出て退職届を提出しようしましたが後任が育ってない事、人材不足を理由に退職届を受け取ってもらえません。転職先には1ヶ月後〜働きたい事を伝えていますが、それより入職日が伸びて別の人が採用されると内定自体は取り消しになってしまいます。個人としては次の職場で心機一転頑張りたいと考えているのですが今の職場もできる限りは穏便に円満で退職したいと考えています。今の職場を辞めさせてもらえない場合はやむを得ず退職代行や労働基準監督署等に相談するなどの強行手段に出るべきなのでしょうか？皆さんならどうされますか？アドバイスしていただけると幸いです。