新卒 仕事辞めたい

26卒管理栄養士です。
愚痴を吐く場所が無く、相談出来る人もいないのでここに失礼します。お目汚しすみません。
500床程の三次救急を伴っている大きな病院で主に病棟業務メインで働いています。
ここ1ヶ月働いて病院にかなり不信感があり疑問に思ったため質問させていただきます。
世間知らずな質問で申し訳ないのですが残業代が出ないのは当たり前なのでしょうか？私が勤務している病院は"上長指示の元"でないと残業代が出ないといつも業務を教えていただいている上司から教えて頂きました。タイムカードや毎月の勤怠のチェックはあるもののそれは記録上として付けているだけで残業代には反映されないと教えていただきました。正直な事を言うと入社日の4/1以降、定時で帰れた事は1度もありません。毎日2時間は残り、直近だと5時間以上超過勤務をしていました。定時で上がっている上司は1度も見たことがありません。みんな終電間近まで残っているのが当たり前の環境となっています。
また、暦通りの休みと教えていただいていたにも関わらず4月から院長の方針により土曜日出勤が始まりました。新人のうちはまだ出勤はしませんが業務を独り立ち出来たら出勤してもらうと話がありました。正直に言ってそんなこと聞いてもいないし土曜日出勤なんてしたくもありません。暦通りの仕事が良くて就活も頑張ったのにこのような病院に配属されて悔しいです。まず1年は頑張ろうと初めは思っていましたが教育体制が整っていない職場、業務量と残業代、室長の気分屋な態度に毎日嫌気がします。室長の態度もあまり良くなく、以前入職した方が3ヶ月で辞めるくらいかなりパワハラ気質・威圧的な上司です。
正直辞めたいし仕事が嫌というより室長が嫌で毎日怯えて仕事をしています。ふとした瞬間に泣いていますが新卒で１ヶ月過ぎで辞めてしまうと転職時や将来に響いてしまうのではないかと思い怖いです。また、社会に出て1ヶ月なのに根を上げている自分が情けなくて親になんて相談できません。
皆さんは残業代が出ない職場だと分かったら新卒でもすぐに辞めますか？また、このような環境だとどのようにモチベーションを保ちますか？情けない自分をアドバイスをください。拙い文章で申し訳ございません。よろしくお願いいたします。