仕事をお願いするのが怖い

特養で管理栄養士として勤めて現在の施設では二年目になります。
今年の春に、上司であったベテランの管理栄養士の方が退職され、新たに10年以上経験のある年上の管理栄養士の方が入職されました。
勤務年数は私の方が上であり、施設での加算関係や細かいルール等は私の方が把握していた為、年上の方ではありますが、私が業務について指示やお願いをする日々を過ごしていました。
入職された当初から、お願いした業務について「無駄なのでしたくありません」「やる意味が分からない」と文句を言われることが多く、忙しい中でお願いしたい業務についてお願いがしづらい状況がつづいていました。
先日、一度断られた業務について、私自身も別の業務に追われており、再度で申し訳ないですが…とお願いしたところ、その方が業務を行ってくれることになりました。しかし、業務をやり始めてすぐに「こんな業務もうしなくていいですか？！やる意味が分からない、あなたがしてもらっていいですか？」と強く立腹された様子で言われてしまいました。
施設の上の方にも、お願いした業務について断られることがあり業務を頼みにくいと相談はしましたが、「無理にあなたが責任者のような立場で構える必要はもうないんじゃないでしょうか？歩み寄る姿勢も大切に」と言われその話が解決することなく毎日顔を合わせるのが嫌で仕方ありません。
とはいえ、すでにお願いしている業務のみでは、年上の部下さんも手が空いてしまうようで「何かあれば言ってください、この前されていた●●の業務について、代わりにしましょか？」とも言われます。
私としては、再びやりたくないだの言われる方が嫌なので、「自分でするので大丈夫です」と言って自力で業務を終わらせています。
年上の部下さんは、労基やハラスメントについて「今は厳しいんですよ」と口癖のように言われるので、業務をお願いすることで拒否をされ怒られるのが嫌で私も業務をお願いしていない状況に対して、「過少業務」と言われるのではないかと危惧しています。
お願いした業務について不満を多く言われる、年上部下さんとうまくやっていくために私はどう対応すればいいのか、教えて頂きたいです。