急な欠員が出た時の対応どうしていますか？

こんばんは、皆様のお知恵をお借しください。

私は、3カ月前から病院栄養士として働いています。
当院は、給食は委託が入っていて調理のみお願いしている形です。（栄養士はおらず、私が食事のチェックや厨房の管理をしています。）
クックチルで一日30食程度、早番1人、中番1人、遅番2人と7名の調理員でシフトを組んで回しています。


ここからが本題なのですが
先日、休み明けに早番担当の調理職員から「急に休みたいときはあなたに連絡していいんですよね？誰に連絡すればいいかわからないから熱があるのに休めなかった」と言われました。

この場合、私が他の調理員に電話をかけて代わりを探さなければいけないのでしょうか？私は事務仕事のみで調理作業には携わっていないので代わることもできないし、、、
調理員同士で連絡を取りあって、変わりが見つかったという事後報告してもらうのが一番スムーズなように思います。

また、調理員同士で連絡先を共有することを提案しましたが、一部の方が「どうせ家が近い私ばかり負担が大きくなるから教えたくない、私だけが馬鹿を見る」とおり、そこは調理員同士で話あってほしいルールを決めて欲しいと伝えてましたが、話が進まず困っています。

以前の職場が直営給食だったため、どこまで介入すればいいのかわからず困っています。

皆様の所の、急な欠員が出た時の対応とどこまで連絡網等連絡先の共有をしているか教えてください。